资金管理的有效边界
2009-03-08 11:10:41 来源： 作者：
1、一些必要的参数
一个可重复的风险游戏，包含以下预设的常数，在模型中，它们是不变的：单笔赢利/损失比率R（不用风险/收益比，容易引起误会）、赢率P。为了简化问题，假设R＞1且P＞0.5。这是为了使模型产生正期望的结果，但这是其充分条件而非必要条件，如果需要，完全可以放松这个约束。
除此之外，还有一个预设的条件：原有资本为1，如果资本一旦低于常数x（0<x<1），则停止交易。比如，x可以等于0.5，即如果资本下跌至最初资本的50%，则退出游戏。
游戏中的变量包括：每局以现有资本的固定比率a（0<a<1）作为单局可损失资金；游戏局数即交易次数n，即并非无限次地进行交易，因为交易次数对结果有影响，虽然它不是主要的考虑的方面。
需要说明一下，a并不是衡量风险的参数。在本模型中，风险与收益都是衍生出的概念。
2、预先的讨论：局限条件x的影响
如果我们将局限条件x做一点点修改，我们就可以从一个新的角度看待整个问题。局限条件是一个“硬”约束，资本额一旦触及x这条水平线，就无条件地被强制停止交易。我们将它改成一个稍微“软”一点的约束。
假设交易员的资金全部是投资者提供的，如果资本额达到或低于x的水平，则投资者有权是否要求交易员停止运作并按x偿还资金。也就是说，投资者在一个资金管理协议上附加了一个美式“选择权”，而交易员的约束即是他“写”出了一张美式选择权。
我们再将它与包含一个卖权的债券做个类比。一个含有卖权的债券在一个普通债券的基础附加了一个条件：当债券的价格低于一个预先设定的价格时，购买债券的投资者有权要求债券发行人有权要求以此价格偿付债券。债券的价值等于无内含选择权债券的价值减去内含的选择权的价值。
从一个美式选择权的角度来重新看待以上的一些参数：游戏局数或交易次数n其实就是时间T；每笔交易所动用的资本比例a与R一齐代表了波动率；x则是strikeprice。不过，一般的选择权向上或向下的概率都是50%，但在我们这里则很可能不是对称的。而且，我们不考虑资金的时间成本。
对交易员来说，硬约束与选择权约束不同的地方在哪里呢？在给一个美式选择权定价的时候，在二叉树模型中是从后倒推至时间起点，但硬约束下的问题不用这么麻烦，直观得多了。事实上，从交易员的角度看，两者没有多大区别：如果硬约束损害了他的利益，这部分的利益大约等于选择权的价值。在后面的问题中，我们也可将约束条件理解为一个选择权。
三、路径
任何一个局游戏就是二叉树图中的一个结点。在任何一个结点，资本有等于P的可能会增长，乘以因数(1+a)R；有等于(1-P)的可能减少，乘以因数(1-a)。从0到n，就可以构建一个完整的二叉树图了。不过，向上和向下的概率不一定相等，画二叉树图还是有点复杂了。我们要把问题简化到象数123一样简单。
对于每一个a(0<a<1)，用随机发生器，产生足够多的路径，要求是：在任意一个结点上，有等于P的可能向上，等于(1-P)的可能向下。
这样，我们就得到了足够多的表示资本金变化的路径。想象一下，将每一条路径都画在图上，水平轴是结点n，是个什么样子，它是对称的吗？（哈哈，画出来还是一个二叉树图，因为很多路径的很多部分重合了）。后面的就是算术加一些空间想象力。
四、筛选＿加入约束条件
在得到的路径中，画一条水平线x，所有“触及”x的路径拦腰截断，。比如说，如果x=0.5，一条路径相邻的一组结点是0.6,0.4,0.5,0.6…..，则这条路径只保留到0.6,0.4，0.4就是端点。
五、风险和收益
对于每一个a(0<a<1)，对应了一个期望收益和风险水平。
期望收益E：
将上述每一条路径端点上资本金水平，求平均值，再减去初始资本1，得到的就是期望收益。
风险：
什么是风险？方差、标准差表示的波动性就是风险吗？其实，风险就是你不愿意见到的事情发生的可能性。一般情况下，波动性增加意味着这个可能性也在增加，所以可以和波动性来表示风险的大小。但是在我们的这个问题中，分布不但是不对称的，而且有一边还被“截去”了一部分。事实上，对于一个交易员/游戏者来说，什么是他最不愿见到的？当然是他输得厉害，以至被迫停止交易了。因此，我们以此来衡量风险水平：被水平线x截断的路径数目/路径总数，y。
其实，我们也可以用一个选择权的价值V来衡量交易员的风险水平。事实上，y与V差不多是同一回事，两者是一一对应的关系。进一步的，我们知道，选择权的价值与波动率是正相关的，所以y、V与a是也是一一对应的。如果我在y的数值标识在一个坐标轴上，我们应该知道，这个轴上的任意一点也代表了唯一的a。
用来衡量风险水平的东西，应该将其理解为一个序数关系，即它只表示了大小关系，而不是多少。你不能说这个点的风险水平是那个点的两倍。
六、风险收益曲线
每一个a水平，都能够得到一组（y,E）。将所得到的数据标识在水平轴为y、纵轴为E的坐标中，我们就得到了一条风险收益曲线。因为当a=0时，资本水平，风险最小，y=0，同时E=0。因此，至少从最原点开始，风险收益曲线有一段是风险越高、收益越高。这就是我们想得的最重要的结论。
对于不同的人来说，在这条风险收益曲线上选择哪一点是最优的，仅仅取决于他对风险和收益的偏好。激进的人会选择较大的a，收益更高，风险也更高；保守的人会选择较小的a，风险较低，收益也较低。因此，根本不存在什么哪一个点是最优的，也没有什么最优的资金管理公式。
七、可以继续思考的问题
还有一些问题可以思考：
1、风险收益曲线上是否会有一段向右下倾斜的，即风险越高，收益反而越低？如果这样，那么这一段就是无效的，因为如果人们都是厌恶风险的，根本不会有人去选择这么高的a。
2、n越大，对风险和收益有什么影响？
3、不同的x，对风险和收益有什么影响？如果x=0，结果又会怎样？如果x可以为负值，那又会怎样？
4、如果约束条件变成：在任意一条路径中，如果资本从最高点下降(1-x)则被迫停止交易，那么结果又会怎么样？
5、不是在讨论大R小R吗？一般来说，R与P是反向的关系，那么，如果给出不同的(R,P)组合，得到风险收益会有什么特点？
6、假设我们对一个策略会有什么样的（R，P）组合并不完全清楚，只是知道各种组合出现的概率，那又会对结果有什么影响？
7、前面我们假定每一次的损失是已知的，但如果实际损失的可能比我们准备损失的多得多，那又会出现什么结果？
还可以有很多问题。